Weyde, Tillman: Lern- und wissensbasierte Analyse von Rhythmen

Beispiele für t-Conormen sind:

_L min(a,b) = max{a, b} _L Luka(a,b) = min{a + b,1} _L prod(a,b) = a + b- ab p p 1 _L Y ager(a,b) = min{(a + b)p,1} mit p > 1.

(5.31)

Das Paar _min(a,b) und _min(a,b) hat mathematische Eigenschaften, die der klassischen Logik besonders nahe kommen.³⁴

³⁴ Vgl. Kruse et al. (1993, S.24–25).

Abbildung 5.6 zeigt die Graphen dieser Funktionen. Die Yager-Funktionen bilden eine ganze Familie von t-Normen und t-Conormen, die sich durch den Parameter p variieren läßt. Gilt p = 1, so ergibt sich

_Luka, für p -->

entspricht sie

_min.

Abbildung 5.6:

Graphen der t-Norm

_min und der t-Conorm

_min

Operatoren, die zwischen t-Norm und t-Conorm liegen, lassen einen gewissen Grad an Ausgleich zwischen den Operanden zu, d.h. ein kleiner Wert für a kann durch einen großen Wert für b ausgeglichen werden. Solche Operatoren nennt man daher kompensatorische Operatoren. Kompensatorische Operatoren sind im allgemeinen nicht assoziativ, so zum Beispiel der Gamma-Operator:
$g(a,b) = (ab)1- g(1 -(1 -a)(1- b))g mit g (- [0,1].$ (5.32)

Eine Klasse assoziativer kompensatorischer Operatoren, wurde von Klement, Mesiar und Pap vorgestellt.³⁵

³⁵ Klement et al. (1996).

Diese Operatoren haben allerdings den Nachteil, daß sie für die Punkte (0,1) und (1,0) nicht definiert sind und sich auch nicht stetig ergänzen lassen.