Weyde, Tillman: Lern- und wissensbasierte Analyse von Rhythmen

gegeben sein. Die übliche Auswertungsfunktion für die Negation ist

neg : [0,1]-- > [0,1] : neg(a) = 1- a .

(5.28)

Anforderungen, die häufig an eine Funktion für die Konjunktion bzw. den Durchschnitt zweier Fuzzy-Mengen gestellt werden, sind in der Definition der t-Norm zusammengefaßt:

Definition 5.2.2 Eine Funktion : [0,1]²- --> [0,1] heißt t-Norm, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:
(a) (a,1) = a (Einselement)

(b) a < b ===> (a,c) <(b,c) (Monotonie)

(d) (a,(b,c)) = ((a,b),c) (Assoziativität).

ist monoton steigend in beiden Argumenten, und da aus (a) (0,1) = 0 folgt, gilt wegen (b) und (c) auch (a,0) = 0. Schneidet man also eine unscharfe Menge mit einer scharfen Menge, so kann die passende Zugehörigkeitsfunktion nur die Werte 0 und 1 annehmen. Kommutativität (c) und Assoziativität (d) werden vorausgesetzt, um das Ergebnis der Operationen unabhängig von der Reihenfolge der Operationen bzw. Operanden zu halten.

Beispiele für t-Normen sind:

T min(a,b) = min{a,b} T Luka(a,b) = max{0,a + b- 1} T prod(a,b) = a.b 1 T Y ager(a,b) = 1- min{((1- a)p + (1- b)p)p,1} mit p > 1.

(5.29)

Entsprechend der t-Norm wird für die Disjunktion die t-Conorm (häufig auch s-Norm genannt) definiert. Die t-Conorm faßt die Bedingungen an eine Zugehörigkeitsfunktion für die Disjunktion zweier Fuzzy-Mengen zusammen:

Definition 5.2.3 Eine Funktion : [0,1]²- --> [0,1] heißt genau dann t-Conorm, wenn sie die Bedingungen (b), (c) und (d) der t-Norm erfüllt und statt (a) folgender Bedingung genügt:
(a’) (a,0) = a (Nullelement)

Zu jeder t-Conorm gibt es eine entsprechende t-Norm und umgekehrt, die in folgendem Zusammenhang stehen:
$_L (a,b) = 1- T (1 - a,1- b).$ (5.30)