zur Verfügung stehen. Damit die Gewichte nach dem Training wieder als untere Schranken der Wahrheitswerte von Regeln interpretiert werden können, dürfen die Gewichte nach einer Änderung das Intervall [0,1] nicht verlassen.

Fuzzy-logische neuronale Netze verwenden die semilineare Funktion f_sl(net) aus (5.39) als Aktivierungsfunktion. Da die Netzeingabe aus fuzzy Wahrheitswerten aus dem Intervall [0,1] besteht, kann die Ableitung von f_sl als f'_sl(net) = 1 bestimmt werden. Die Tatsache, daß bei fuzzy-logischen neuronalen Netzen nicht die gewichtete Summe als Netzeingabefunktion verwendet wird, ergibt größere Schwierigkeiten. Da für die Backpropagation-Regel die Ableitung der Netzeingabefunktion verwendet wird, benötigt man differenzierbare Auswertungsfunktionen der logischen Konnektive, um den Lernalgorithmus entsprechend verändern zu können. In der Regel werden für die Auswertungsfunktionen t-Normen bzw. t-Conormen benutzt. Diese sind jedoch meist nicht differenzierbar. Insbesondere die t-Conorm _min(a,b) = max{a,b}, die bei der Erweiterung eines Fuzzy-logischen Programms zur Erfüllung der Forderung 5.3.2 verwendet wird, ist an den Stellen a = b nicht differenzierbar, während kompensatorische Operatoren im allgemeinen differenzierbar, aber nicht assoziativ sind. Daher verwendet man Operatoren, die _min durch eine differenzierbare Funktion approximieren, wie die t-Conorm _q

(5.53)

für die gilt:

(5.54)

Daher kann man _min für große q durch _q annähern.

Mit diesen Anpassungen kann Backpropagation auf fuzzy-logischen neuronalen Netzen verwendet werden, um die Wahrheitswerte von Regeln anhand von Beispielen zu optimieren. Das generierte Netz ist ein neuronales Netz gemäß der Definition 5.1.2 und kann genau so verwendet werden. Es ist der Vorteil dieser Methode, daß durch Verknüpfung der Struktur des Netzes mit den Fuzzy-Regeln die gelernten Gewichte interpretierbar bleiben können. Wie leistungsfähig das fuzzy-logische neuronale Netz ist und ob eine sinnvolle Interpretation der gelernten Gewichte möglich ist, hängt wesentlich von den verwendeten Fuzzy-Regeln ab.

5.4.  Repräsentation und Verarbeitung zeitlicher Informationen

Es gibt verschiedene Ansätze der Repräsentation zeitlicher und speziell musikalischer Informationen in neuronalen Netzen und anderen lernenden Systemen. Für die unmittelbare Repräsentation zeitlicher Informationen in Neuronalen Netzen werden vorwiegend zwei Ansätze verwendet, die topologische und die dynamische Repräsentation. Diese unterscheiden sich bezüglich der Organisation der Daten und ziehen Unterschiede in der Verarbeitungsweise nach sich.