Fuzzy-Logik wird besonders in der Steuerungs- und Regelungstechnik, aber auch im Bereich der Wissensrepräsentation eingesetzt. Im folgenden sollen Elemente der Fuzzy-Logik dargestellt werden, die für diese Arbeit von Bedeutung sind.

5.2.1.  Fuzzy-Mengen

In der klassischen Mengenlehre ist ein Objekt in einer Menge enthalten oder nicht. Fuzzy-Mengen zeichnen sich hingegen dadurch aus, daß es verschiedene Grade der Zugehörigkeit zu einer Fuzzy-Menge gibt. Dieser Ansatz eignet sich gut, um Konzepte der natürlichen Sprache darzustellen. Betrachtet man etwa die Menge aller schönen Sinfonien, dann gehören dieser Menge sicher nicht alle Sinfonien in gleichem Maße an; nicht alle Sinfonien sind gleich schön. Dieses Konzept läßt sich folgendermaßen formalisieren:

Mit _A(x) wird für jedes x X ein Grad der Zugehörigkeit zur Fuzzy-Menge A bestimmt. Klassische, sog. scharfe (engl. crisp) Mengen stellen einen Spezialfall der Fuzzy-Mengen dar, in dem der Bildbereich von _A auf die Werte 0 und 1 beschränkt ist. _A entspricht dann der charakteristischen Funktion 1_A. Die Menge aller x X, für die _A(x) > 0 gilt, heißt der Träger von A.

Es gibt verschiedene Funktionen für die Zugehörigkeit. Die Dreiecksfunktion wird verwendet, um eine Zahl als Fuzzy-Menge zu beschreiben:

(5.22)

Dabei bestimmt m die darzustellende Zahl und d die Toleranz, d.h. den Bereich innerhalb dessen die Zugehörigkeit noch nicht 0 ist. Ein Intervall kann analog durch eine Trapezfunktion dargestellt werden:

(5.23)

Eine Alternative für Punkte oder Intervalle mit geringer Breite ist die Verwendung der Gaußfunktion:

(5.24)

Abbildung 5.5 zeigt die Graphen der Dreiecks-, Trapez- und Gaußfunktion.