Menge aller Regeln der Form 5.34, die sich daraus bilden lassen, und L = L_a L_r. Ein Fuzzy-PROLOG Programm ist dann eine Fuzzy-Menge über L mit endlichem Träger, d.h card({a L|(a) > 0}) < .

Der Resolutionskalkül beruht auf der klassischen Schlußform des Modus Ponens, die folgendermaßen notiert wird:

(5.36)

D.h. wird aus und abgeleitet. Für Fuzzy-Logik können wir den Modus Ponens jetzt unter Verwendung der Goguen-Implikation erweitern. Seien und die Wahrheitswerte der Aussagen und , dann gilt:

Damit folgt als erweiterter Modus Ponens:

(5.38)

Unter der Bedingung einer in allen Argumenten monoton steigenden Auswertungsfunktion für die in den Regeln verwendeten Operatoren (normalerweise ), läßt sich für Regeln der Form 5.34 eine untere Schranke des Wahrheitswertes von berechnen. Dazu fordert man bei binär definierten Operatoren deren Assoziativität, die eine natürliche Erweiterung auf beliebige Stelligkeit ermöglicht. Man kann auch verschiedene Operatoren verwenden, solange Monotonie, Assoziativität und Stetigkeit gewahrt bleiben, und damit Fuzzy-PROLOG-Programme auf allgemeine Fuzzy-logische Programme (FLP) erweitern. Fordert man für die verwendeten Operatoren, daß ihre Auswertungsfunktion in allen Argumenten monoton steigend und stetig ist, kann man auch für Fuzzy-logische Programme mit dem Modus Ponens Vollständigkeit und Korrektheit zeigen.³⁸

5.2.4.  Musikalische Anwendungen der Fuzzy-Logik

Fuzzy-Logik wurde bisher selten für musikalische Anwendungen verwendet. Zwar lassen sich einige Systeme, wie etwa die Umsetzung des Fuxschen Regelwerks durch William Schottstaed,³⁹

im Sinne der Fuzzy-Logik interpretieren, allerdings gibt es keinen expliziten Bezug auf den begrifflichen und theoretischen Rahmen. Fuzzy-Logik wird vorwiegend in der Steuerungs- und Regelungstechnik verwendet, die eine schnelle Verarbeitung mit entsprechend geringer Komplexität erfordert, und es