Weyde, Tillman: Lern- und wissensbasierte Analyse von Rhythmen

B. Beweise

Minimale Motivlänge bei Tenney und Polansky

Ein Motiv nach Tenney und Polansky hat mindestens zwei Töne, wenn es nicht am Rand der Sequenz liegt.

Beweis: Indirekt:
Sei x₁,x₂,x₃ ein Sequenz mit einem dem einelementigen Motiv x₂.
Dann gilt wegen der Motivgrenze zwischen x₁ und x₂: d(x₁,x₂) > d(x₂,x₃) und wegen der Motivgrenze zwischen x₂ und x₃: d(x₁,x₂) < d(x₂,x₂).
Widerspruch!

Symmetrie von equal

equal ist für festes y bei logarithmischer Skalierung achsensymmetrisch bzgl. x. Dabei ist x = y die Symmetrieachse.

Beweis: Zu zeigen ist equal(e^y+x,e^y) = equal(e^y-x,e^y)

equal(ey+x,ey) = gauss(ey+x,ey,c|ey+x|+|ey|) ( ) 2 - 1 -ex--ey- 2 = e 2 c(ey+x2+ey) (ey+x- ey)2 - 2c2- ey+x +-ey = e