Allerdings ist die Extension in Richtung Harmonielehre durchaus ein Bruch mit der
Pertinenz, mit dem Topos von Aesthesis und Psychologie, welcher die GTTM
positioniert. Hier werden mathematische Dimensionen der mentalen Realitätsebene
angesprochen, die nicht mehr dieser Pertinenz angehören. Die diatonische Skala von
Tonhöhenklassen, welche in TPS angesprochen wird, identifiziert sich mit
7, der
zyklischen Gruppe der Ordnung 7. Es werden darauf die Dreiklangstufen I, II,
. . . , VII betrachtet, und mit ihrem Dur-, Moll- oder vermindertem Charakter
notiert. Diese Stufen werden mathematischen Relationen unterworfen, also
nicht psychologischen, sondern rein mentalen Konstrukten. Dazu läßt Lerdahl
die Gruppe Trans(
7) der Transpositionen auf
7 auf der Menge der Stufen
operieren. Um die Relationen zwischen je zwei Stufen zu beschreiben, werden die
Kardinalität des Durchschnitts und die Anzahl der Quinttranspositionen betrachtet.
Daraus ergibt sich eine Art von Distanzrelation, die man auf dem diskreten Torus
7 ×
7 zu veranschaulichen sucht. Wir sind hier also ganz in die Mathematik
verwiesen, während die psychologische Begründung der mathematischen Konstrukte
ausbleibt.
3.3. Tori und andere Fallstricke
Die Rolle des Torus
7 ×
7 ist wie folgt definiert. Lerdahl betrachtet die Operation des
Torus auf der Menge der Dreiklangstufen durch Transposition, indem dem Paar (x,y)
die Transposition um 2x + 4y zugeordnet wird. Die x-Koordinate wird zu einer
x-fachen Verschiebung um eine Terz, die y-Koordinate wird zu einer y-fachen
Quintverschiebung.
Die Verwandtschaft von Dreiklängen wird dann via die Distanz auf dem Torus erfaßt,
die man als Verschiebungsgröße interpretiert. Diese Darstellung ist mathematisch
gesehen reine Willkür. Die Operation einer Gruppe als Verschiebungsgruppe ist auf viele
Arten möglich, als zweidimensionaler Torus wie hier, oder als mehrdimensionaler Torus
mit variablen Faktoren. Nicht einmal
7 ist bevorzugt, da die Gruppe
7 ja
von Primzahlordnung ist und daher von jedem nicht-trivialen Element erzeugt
wird.
Die einzige intrinsische Topologie unter den Dreiklängen, welche die Durchschnitte
auch invariant veranschaulicht, ist das harmonische Band, welches als Nerv
der Dreiklangüberdeckung definiert ist und geometrisch ein Möbiusband
ist30
- Mazzola, Guerino: Gruppen und Kategorien in der Musik. Heldermann, Berlin 1985.
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Die vollkommene Unkenntnis dieses klassischen Resultats der Mathematischen
Musiktheorie (es geht auf das Jahr 1980 zurück) und der Mathematik im allgemeinen
bringt es mit sich, daß die hier unvermeidlichen Extensionen der pschologischen
Realitätsebene an der – gemessen am Stand der Wissenschaft – längst nicht mehr
nachvollziehbaren Inkompetenz in anderen Ebenen scheitern.